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和声：【和音・和声・ハーモニー】：
　　　　　　存在しない幻の音が聞こえる！　雑記帳　 <HARM>

　物理的に見た場合，「和音・和声・ハーモニーとは，複数の音を同時に聞いた場合に，それぞれの周波数の最大公約数付近の周波数の音が聞こえる現象」を言い，ハーモニーで耳に聞こえるその周波数は物理的な計測を行っても存在しません．この現象を積極的に活用して音楽を構成します．
　たとえば，ドの音程の１，２，３，４，５，６，７，８倍の和音は「ド，ド，ソ，ド，ミ，ソ，シ♭，ド」であり，このうち「４，５，６倍」を同時に鳴らしたものが「ド，ミ，ソ」の和音(長調主和音)ですが，聴感としては基本音１倍のドが聞こえ，この現象をハーモニー・和音・和声といいます．
　４倍音の代わりにその１オクターブ上（２倍）の８倍音を加えて５：６：８にすると第１展開：ミソド．更に５倍音の代わりに10倍音を加えて６：８：１０＝３：４：５にすると第２展開：ソドミです．（この比率は長調の和音の基本です．
　 短調主和音の基本周波数比率はもう少し複雑な比率で，ラ：ド：ミ＝10：12：15ですが，整数比です．）

<FIG1>２波合成波形

<FIG1.2>ギター５G開放弦（グラナドス製）音波形＆スペクトラム

　世界各地に自然発生した整数比基準の音階は後述「平均律」に対して「自然律」と呼びますが，この音階の整数比に着目して，初めて数値で振動数(周波数)比を定義したものが「ピタゴラス律」です．

　自然律の場合，調毎に別の調律の楽器になる不便を生じます．ピアノやオルガンなどで調毎に別の調律をした楽器は用意しきれませんので，その音階の整理統合法として「平均律（対数律）」が生まれました．平均律は２倍(１オクターブ)の12乗根を基準とする対数律なので，和音が整数比にならず，響きにくくなります．そこで自然律のハーモニーの良さが着目され，「快い音楽」として更に総ての音を整数比で定義する試みを特に「純正律」といいます．しかし曲の途中で転調があると整数比調律の場合，却って酷い響きの和音が出来る弱点もあります．(平均律の方が豊かな音と感じる方も少数居る様ですが)
　なお、演奏現場的にはコーラスやオーケストラで「良く響き合う演奏」と言われるのは演奏者相互が音程を調整して実質この純正律での演奏になっているそうです。ピッチを変えられない楽器がこの調整に付いていけず、ピッチ毎に準備する楽器もあるようです。

　ピアノや電子楽器などの平均律調律に対し，ギターなど弦楽器の調律は高調波(ハーモニクス)を使って３対４の整数比を基準として行われることが多く，響きの良い和音が得られる訳です．この整数比３対４はピタゴラス律(自然律)の定義です．
　なお，「音楽理論」でドミソの和音の４：５：６の間隔を「長３度＋短３度」というのは平均律とした場合の比を表すものになっており，長３度（４半音）＝２の12乗根の４乗：短３度（３半音）＝２の12乗根の３乗ですから，１： 1.260： 1.189*1.260＝４： 5.04： 5.994 となって整数比に対して０．８％前後の誤差を生じています．この誤差は唸りとして差の周波数で振幅変調された様に聞こえます．だから音楽教科書の「楽典」の解説はあくまで音楽規約解説で，物理学的に見た和音の原理ではありません．短調「短３度＋長３度」というのも全く同じ「音楽規約」で「物理解説」ではありません．

　存在しない音が聞こえる現象は，実は多くの楽器に見られ，ギターとかベースの低音は倍音のみで構成され基本周波数成分がないと云われていました．(実験結果：基本波が見えますね、倍調波とほぼ同振幅(wは少なめだけど旧計測結果は正しくなかった)．このためスピーカーの再生限界より低い音程を音楽としては聞くことが出来るのです．このデータだと基本波が倍調波の-3dB程度なので旧測定で見えなかった可能性がありますが。（若干ＨＰ分野違いですが，ＢＧＭファイル作成時の加弦法の参考に）

<FIG2>

cf.　高調波調弦＝開放弦調弦　　

　高調波(ハーモニクス)を使うと開放弦で調弦ができるので指で押さえる強さや位置の影響がなくなり，調律誤差を減らすことができます．２波干渉の包絡線周波数が双方の差の周波数なので、音量が増減しなくなる「ゼロ・ビート」調整をするから相対差としては非常に正確な調弦となります。これは、かって大昔の高周波・無線関係の較正・測定で多用された精密測定法です．開放弦とは弦を指で押さえない状態を言い，弦の振動モードとしては両端固定振動でもあります．
　弦楽器でハーモニクス(楽譜表記でHm，または arm)を発生させるには，弦振動の節に押さえの指を軽く置き，弾くと同時にその指を離せば良い．振動の節の位置は，ギターの場合，２倍調波が12フレット上，３倍調波が７フレット上，４倍調波で５フレット上です．

　先ずＡ音叉で絶対音程を取るのが５Ａ弦．コマに音叉の根元を当てて共振点に調整する．(Ａ＝880Hz：４倍調波)
　５Ａ弦の３倍調波（７フレット）と６Ｅ弦の４倍調波（５フレット）と１Ｅ弦解放が同音程．(660Hz)
　聴感で音程差が分からなくなった場合は両弦の干渉による唸りに着目して，その振幅変調がゼロになる点を追えば非常に正確な調弦ができます．両弦の周波数差が唸りの周波数です(FIG1参照．通常のフレットを押さえる調弦法でも正確になります)

<FIG3>
　６Ｅ弦の３倍調波（７フレット）と２Ｂ弦解放が同音程(495Hz)，
　５Ａ弦の４倍調波（５フレット）と４Ｄ弦の３倍調波（７フレット）が同音程(880Hz)，
　４Ｄ弦の４倍調波（５フレット）と３Ｇ弦の３倍調波（７フレット）が同音程(1173.3Hz)，
の手順により基本的な調弦が出来ますが，さらに
　コードの響きから１Ｅ弦を心持ち強め(高め音程)に設定する演奏者が多いそうです．

ギターの開放弦調弦図　<Tune>

A440Hz音叉

整数比－平均律
調弦周波数比較
~~(楽譜上はこの２倍周波数)~~
(実周波数は楽譜上の1/2)
弦	整数比	平均律	階数
弦	周波数		階数

１Ｅ	660.0	659.3	24 (5)
２Ｂ	495.0	493.9	19 (4)
３Ｇ	391.1	392.0	15 (5)
４Ｄ	293.3	293.7	10 (5)
５Ａ	220.0	220.0	5 (5)
６Ｅ	165.0	164.8	0 (0)

**[調弦周波数表]** （ギター：実音周波数は1/4）
弦	弦周波数[Hz]		高調波[Hz]			備考
弦	平均律	整数比	×３	×４	（×５）	備考

１Ｅ	1318.51	1320.00	(3960.00
２Ｂ	987.77	990.00 (977.7^･		(3960.00 (3911.1^･		(不採用
３Ｇ	783.99	782.2^･	2346.6^･		(3911.1^･
４Ｄ	587.33	586.6^･	1760.00	2346.6^･
５Ａ	440.00	440.00	1320.00	1760.00		A音叉較正
６Ｅ	329.63	330.00	990.00	1320.00

◎｢２Ｂ｣×４＝｢３Ｇ｣×５調弦では10Hz余(１％）の誤差を生ずる。
　（不正確な上、合わせにくい音程につき不採用！）
◎｢６Ｅ｣×３＝｢２Ｂ｣、｢５Ａ｣×３＝｢６Ｅ｣×４＝｢１Ｅ｣では誤差がない。
　合わせやすい音程でもあり、こちらの調弦が妥当。

　この調弦法(ピタゴラス律)では総て開放弦による調弦なのでフレットの押さえ方に拠る誤差がないことと，調弦しやすい音程で作業ができるため正確な調弦が簡単にできます．（正確に調律された場合、開放弦の音程自体の差は普通の人には判りにくいでしょう．整数比律(自然律、ピタゴラス律、純正律)と平均律の違いが誰の耳にも分かるのは「セブンスコード」（Ⅴ7，「属７」＝属和音＋基音から７番目の音）の違いです．だから「正確な調弦法」でＯＫです．）

［ギター調弦の動画］

　ａ：440Hz音叉により第５弦を440Hz/2（実周波数440Hz/4）に調弦する動画が上、
第５弦を基準に他の弦５本を調弦する動画が下側。
　下側の05:47以降が弦の高調波を用いた「開放弦調弦法」
（5フレットが4倍調波、7フレットが3倍調波、12フレットが2倍調波。
4フレット付近が5倍調波というのはなかなか発音できないし、合わせにくく誤差多く不採用×07:40～｢調弦周波数表｣↑参照）

チューナー KORG AW-2G

　１～２弦については、動画の末尾08:57～でも説明している、
第５弦の３倍調波＝第１弦開放弦＝第６弦４倍調波と、
第６弦の３倍調波＝第２弦開放弦の方が合わせやすい。

［音叉と弦相対調整法 by J-Guitar.com/You Tube］

音叉（Tuning Fork）の使い方：ギター　You Tube
ギターの調弦（実音直／高調波05:47～）　You Tube
（07:40～08:02第３弦×5＝第２弦×4は２弦の誤差が大き過ぎて不採用。
２Ｂ弦は対数律で987.77Hz、６Ｅ弦の３倍調波で990Hzだが、
動画07:40～の「３Ｇ弦の５／４」では977.77Hz(＝440Hz×4/3×4/3×5/4)で調弦誤差が大きいうえ、音程が高すぎて合わせにくい。
08:57～６Ｅ弦の３倍調波が適切）see→[開放弦調弦図]

○演奏家の多くは既に「チューナー」使用調律に変わっている（右写真）。
　　　　（2013/02/07追補）

分布定数型共振　see 定在波の発生

　伝送線路の進行波と反射波の干渉で振動の節と腹ができて，節で固定する共振装置が構成できる．振動の両端を固定した型と、一方を開放した型の共振器がある．振動の伝播だから共振点としては基本振動の他に、両端固定型で整数倍(１～ｎ倍)、一方開放型で奇数倍(２ｎ－１)倍の共振振動数が存在する．これは集中定数型共振とは様子の異なる点である．集中定数型共振であれば共振角周波数は（バネ定数／質量）や（１／ＬＣ）の平方根１つになる．
　波動速度Ｖ，振動数ν，弦長Ｌ，次数ｎ，弦張力Ｔ，弦密度ρ，　　とするとき、
　　　波動速度Ｖ＝√（張力Ｔ／線密度ρ）
　　　　 (この式は架線の振動伝播速度式 (./FIG/210wav/wavspd.htm 03/02/14) と同一である）

弦長Ｌ＝	波長λ₁／２	（基本波)
＝	(λ₂／２)×２	（２倍調波)
＝	(λ₃／２)×３	（３倍調波)
＝	(λ₄／２)×４	（４倍調波)
＝	(λ_n／２)×ｎ	（ｎ倍調波)

λ₁＝	２Ｌ	(基本波)
λ₂＝	２Ｌ／２	(２倍調波)
λ₃＝	２Ｌ／３	(３倍調波)
λ₄＝	２Ｌ／４	(４倍調波)
λ_n＝	２Ｌ／ｎ	(ｎ倍調波)

（前出図FIG3
「高調波振動とフレット位置」参照）
　一方， Ｖ＝ν・λ だから、
弦長Ｌ＝λ／２＝Ｖ／２ν　となる
例：Ｖ＝２×165Hz×0.65ｍ＝214.5m/s：　（波動伝播速度）

**ハ長調・イ短調３音和音一覧**
音名	短調	ⅴ	Ⅵ	Ⅶ	ⅰ	ⅱ	Ⅲ	ⅳ	ⅴ	Ⅵ	Ⅶ	ⅰ	弦＃
音名	長調	ⅲ	Ⅳ	Ⅴ	ⅵ	ⅶ	Ⅰ	ⅱ	ⅲ	Ⅳ	Ⅴ	ⅵ	弦＃

Ｅ	ミ											ミ	１
Ｄ	レ										レ
Ｃ	ド									ド		ド

Ｂ	シ								シ		シ		２
Ａ	ラ							ラ		ラ		ラ
Ｇ	ソ						ソ		ソ		ソ		３
Ｆ	ﾌｧ					ﾌｧ		ﾌｧ		ﾌｧ

Ｅ	ミ				ミ		ミ		ミ
Ｄ	レ			レ		レ		レ					４
Ｃ	ド		ド		ド		ド

Ｂ	シ	シ		シ		シ
Ａ	ラ		ラ		ラ								５
Ｇ	ソ	ソ		ソ
Ｆ	ﾌｧ		ﾌｧ

Ｅ	ミ	ミ											６

音名	長調	ⅲ	Ⅳ	Ⅴ	ⅵ	ⅶ	Ⅰ	ⅱ	ⅲ	Ⅳ	Ⅴ	ⅵ
音名	短調	ⅴ	Ⅵ	Ⅶ	ⅰ	ⅱ	Ⅲ	ⅳ	ⅴ	Ⅵ	Ⅶ	ⅰ
		短	長	長	短	減	長	短	短	長	長	短

３和音

　長音階ド、レ～シに１、２～７の番号を付けて、その２音上と４音上に和音の構成音を置いた場合、和音１，４，５が下側４半音＋上側３半音（＝対数律：長３度＋短３度）で周波数比４：５：６の長調コード比に極めて近く、和音２，３，６が下側３半音＋上側４半音（短３度＋長３度）で周波数比１０：１２：１５の短調コード比に近くなります。和音７だけは３半音＋３半音（短３度＋短３度）で、最大公約数比を云えば２５：３０：３６で非常に響きの悪い和音となっています。両端の音の距離が６半音というのは、他の和音の両端の周波数比が２：３(７半音：完全５度音程）より半音短く「減５度音程」です。
　以上７種の和音をローマ数字で表し、長調コードを大文字、それ以外短調コードを小文字で表します。
　ここで長調和音は３種とも４：５：６，短調和音は３種とも１０：１２：１５とする試みを純正律といいます．
同階名の純正律での長調と短調で違う音は「レ」だけであるが、直下の音に対して長調は９／８倍、短調は１０／９倍で半音の１／４．２５だけ音程が違い転調するには２種類の「レ」が必要になります。
　整数比で追っていくと周波数比４倍までを完全音程、４：５を長３度、５：６を短３度としています（１：２＝完全８度、２：３＝完全５度，３：４＝完全４度）．これ等より半音広い音程を「増」音程、狭い音程を「減」音程と呼んでいます．半音が上下どちら側に含まれるかに注意して見て下さい．上側が長調、下側が短調、両側が減になります．(半音はミ－ﾌｧ間とシ－ド間です)

以下、余談・雑談ｍｏｄｅで　
(このページ全部余談だろうがって？)

半音はどうするの？　　旋律的・和声的短音階！

　和音、和声の原理が解って伴奏を付けやすくなったのはよいけれど、はやり歌は圧倒的に短調の曲で、しかもメロディーの昇りでﾌｧとソが半音上がる「旋律的短音階」が半分近くあるはず．この音程はどんな基準で決めたら良いのでしょうか？他の半音音程は無調音楽じゃないから出てこないと思いますが、このﾌｧ＃，ソ＃は音程を決める必要があります．　　　　　　（調査して本文と表に加筆予定）

♪小節～♪の帝王はどうするの？　こぶし：ビブラートは周波数変調だ！

　ビブラートを物理的に解析すると振幅変調あるいは周波数変調です．ということはキーの周波数の上下、ビブラート周波数だけ離れた音が存在するということです．♪小節～♪の周波数は４Hz～８Hz前後の様ですから、Ａ音440Hzを８Hzのビブラート付きで発すると432Hz、448Hzの調子外れの音が重畳していることになります．これは仮想の存在しない音ではありません．それは「純正律」で問題にしている１％弱の差より大きな狂いです．カラオケビブラートの帝王は純正律楽団には参加出来ないか楽団背景のソリストになるしかありません．　尚、振幅変調と周波数変調の差違は中心周波数の位相に対する上下のビブラート周波数の合成位相が０度（一致する）のが振幅変調、９０度差があるのが周波数変調（位相変調）で、周波数成分としては両者に差はありません．(ATC-1D#AM-FM参照)

ＢＧＭの設定

　ＢＧＭの諸設定は，音量としては，気を付ければ聞こえている程度，すなわち周囲雑音と同レベル～±3dBが効果的とされています．そして一定のリズムを刻むもの．加えてメロディーやハーモニーが心地よいこと．それにより集中力が高まり作業能率が向上します．その「心地よい」要件の中に総てのコード周波数が整数比で構成される前出「純正律」が注目を浴びています．ＰＣでの問題は純正律音階の音源を何処に求めるかです．電子楽器・ソフトは平均律がデフォルトですから．

　一方，疲労はその集中の分激しくなることが分かっており，充分な休養も必須です．
　休養が足りないと慢性の蓄積疲労で過労性疾患発症の危険が高まります．
　職業性過労疾患の基本原因は長期にわたる過重労働の蓄積疲労ですが，数日から１週間の休養で立ち直れる初期症状を一気に悪化させて重症化する引き金は大抵の場合ワカランチン上司のキツーイ一発があり，数ヶ月から数年，酷い場合は10年もの休業に追い込まれています．「そんな症状信じられるかっ！」と怒鳴りつけたところで，一番訳が分からずどうして良いか困っている患者を再起不能に叩き落とすだけの心ない仕儀だからです．不定期に襲う1000V絶縁抵抗計の電撃にボロボロになったパート社員に，原因調査もせず「そんなはずはない，甘ったれんな！」と怒鳴って作業を続けさせ５年以上もの休業治療に追い込んだ文科系馬鹿上司も居たし，「1,000Vと言ったって，命に別状ある訳じゃないでないでしょう」とほざいて業務上認定を却下しようとした非道い労働基準監督官も居たりして，どの程度別状ないか自分で確かめてみたらと切り替えされてソヤツは1000Vプローブ(探針)にはとうとう触れませんでした．たとえ死なないと分かっていても1,000Vの猛烈な電撃はゴメンです．そのケースでは運良く認定の担当者が代わって危うく認定セーフとか．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 <BGM3>
　労働省は療養３年超の労災患者２千数百名をそれ以上回復の見込みなしと一律に決めつけて、御用医師に患者診察なしに１分余の「書面審査」で症状固定の診断書を書かせて(自分の住所氏名職印押印の時間だけで、検討時間なしで)療養費の支給を打ち切り，労災被災者の解雇制限を解いて働けない体のままほぼ全員を解雇させ労働者使い捨てに加担．患者や主治医の抗議に対して「生活できなければ財産を処分した上で生活保護を受ける制度になっている」と放言．これらは明らかに過労死ペースの促進策．労働省というのは産業界のための労働力調達省化して居り，純粋に労働者保護の役所とは言えなくなって久しい．

　まぁ，自分の命優先で，頑張りましょう．しっかりした労働組合があれば会社に対して回復訓練と生活保障を要求して、労働省には異議申し立て、再審査請求、行政訴訟と治療時間を稼いで、その間に健保も活用して治療を続け職場復帰を果たして、労災裁判が最悪の結論でも解雇出来なくしてしまう高等戦術も採れましたが、まぁ何と不勉強・横着あるいは御用組合の多いことか！

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Last Update: 2012/02/10　　 UpDate：04/12/23　/10/15　　/08/31

（以下別紙資料）
<FREQ>

**ハ長調・イ短調　純正律・対数律周波数表**
　　　　　　(純正律の転調には「レ」音が２種必要)
指数	音名	ハ階名	比率	周波数	整数比		周波数	直下比		整数比		周波数	直下比
			対数律 (平均律)		純正律										備考
指数	音名	ハ階名	対数律 (平均律)		ハ長調					イ短調

0	Ａ	ラ	1.0000	880.0	１０/３	3.3333	880.0	１０/９		４	4.0000	880.0	１０/９		基準音

-4	Ｆ	ﾌｧ	0.7937	698.5	８/３	2.6667	704.0	１６/１５	!*	１６/５	3.2000	704.0	１６/１５	!*
-5	Ｅ	ミ	0.7492	659.3	５/２	2.5000	660.0	１０/９		３	3.0000	660.0	９/８		１弦
-6			0.7071	622.3
-7	Ｄ	レ	0.6674	587.3	９/４	2.2500	594.0	９/８	!*	８/３	2.6667	586.7	１０/９		!*
-8			0.6300	554.4
-9	Ｃ	ド	0.5946	523.3	２	2.0000	528.0	１６/１５	!*	１２/５	2.4000	528.0	１６/１５	!*
-10	Ｂ	シ	0.5612	493.9	１５/８	1.8750	495.0	９/８		９/４	2.2500	495.0	９/８		２弦
-11			0.5297	466.2
-12	Ａ	ラ	0.5000	440.0	５/３	1.6667	440.0	１０/９		２	2.0000	440.0	１０/９
-13			0.4719	415.3											※
-14	Ｇ	ソ	0.4454	392.0	３/２	1.5000	396.0	９/８	!*	９/５	1.8000	396.0	９/８	!*	３弦
-15			0.4204	370.0											※
-16	Ｆ	ﾌｧ	0.3969	349.2	４/３	1.3333	352.0	１６/１５	!*	８/５	1.6000	352.0	１６/１５	!*
-17	Ｅ	ミ	0.3746	329.6	５/４	1.2500	330.0	１０/９		３/２	1.5000	330.0	９/８
-18			0.3536	311.1
-19	Ｄ	レ	0.3337	293.7	９/８	1.1250	297.0	９/８	!*	４/３	1.3333	293.3	１０/９		４弦!*
-20			0.3150	277.2
-21	Ｃ	ド	0.2973	261.6	1	1.0000	264.0	１６/１５	!*	６/５	1.2000	264.0	１６/１５	!*
-22	Ｂ	シ	0.2806	246.9	１５/１６	0.9375	247.5	９/８		９/８	1.1250	247.5	９/８
-23			0.2649	233.1
-24	Ａ	ラ	0.2500	220.0	５/６	0.8333	220.0	１０/９		１	1.0000	220.0	１０/９		５弦
-25			0.2360	207.7											※
-26	Ｇ	ソ	0.2227	196.0	３/４	0.7500	198.0	９/８	!*	９/１０	0.9000	198.0	９/８	!*
-27			0.2102	185.0											※
-28	Ｆ	ﾌｧ	0.1984	174.6	２/３	0.6667	176.0	１６/１５	!*	４/５	0.8000	176.0	１６/１５	!*
-29	Ｅ	ミ	0.1873	164.8	５/８	0.6250	165.0	１０/９		３/４	0.7500	165.0	９/８		６弦

指数	音名	階名	比率	周波数	整数比		周波数	直下比		整数比		周波数	直下比		備考
			対数律 (平均律)		ハ長調					イ短調
			対数律 (平均律)		純正律

　周波数はＡ音＝880Hzを基準に相対比率を乗じて算出したもの．実演奏では１％程度は高めのオーケストラなどが存在する．
　日本の音楽ホールに設置のピアノにはそれぞれ専任の調律師が付くようになって、現在基準音A＝442Hz設定が多くなっている．ＩＳＯの規定が変わったわけではない。
　旋律的・和声的短音階※の音程基準は不明
［参考資料出所］純正律音階と平均律音階　 http://gabacho.reto.jp/whims/whim0010.html
　　　玉木宏樹の純正律セミナー:純正律研究所　 http://www.archi-music.com/tamaki/pms.html

アクセス解析

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和声： 【 和音・和声・ハーモニー 】： 存在しない幻の音が聞こえる！ 雑記帳 <HARM>

cf. 高調波調弦＝開放弦調弦

ギターの開放弦調弦図 <Tune>

［ギター調弦の動画］

分布定数型共振 see 定在波の発生

３和音

以下、余談・雑談 ｍｏｄｅで (このページ全部余談だろうがって？)

半音はどうするの？ 旋律的・和声的短音階！

♪小節～♪の帝王はどうするの？ こぶし：ビブラートは周波数変調だ！