３点を通る円の半径を求む（#７）

【「考え方」であり、
「公式」ではありません】

　３点を通る円の中心座標と半径の質問リンクから当ページに来られた皆さん！
　　　http://okwave.jp/qa/q3328350.html
　　　http://oshiete.goo.ne.jp/qa/3328350.html
　　　http://oshiete1.watch.impress.co.jp/qa3328350.html　　etc.
　当ページは、算出の考え方を示すことで、表計算ソフトなどを使って順次中間値を求め、最終的に題意の半径や座標を容易に求めようとするもので、項数の多い公式丸覚えを求めるものではありません。

　数学試験の解答型としては実数の中間計算値で解答することを許さない場合が多いので、正解として採らない教員も少なくありませんが、間接表現としては間違っていませんし、実際の解答数値としては表計算ソフトの有効数字で合っています。すなわち実務上十分すぎる精度での解が得られる現場ツールです。そこを正確に理解して下さい。

　「公式を覚える」云々は当ページを引用された方の誤解で、公式は覚えずにいつでも何処でも算出する方法を述べています。
　（このページは当サイトの最大アクセスページの一つで、誤解の放置は有害なのでひとこと）

　３点が決定されると接する円が１つ決定される。
　同一平面内と見なせる地図から３点の緯度、経度を求めれば地球半径から３点の相対座標が算出され、この相対座標から円中心Ｏの相対座標が求まり、Ｏから３点までの距離が半径として求められる。
　基本的な誤差としては球面を平面と見なすことから発生するが、（北半球では）上辺の短い台形にも近似できるので緯度に上下辺の平均を採用することで緯度誤差を小さくできる。

算出の考え方：

　円の中心は３点から等距離の点。２点から等距離の点は２点を結ぶ線分の垂直２等分線だから、２本の垂直２等分線の交点が円の中心となる。(幾何学的解法)
円の方程式に３点を代入し３元２次連立方程式として、未知数:中心座標P_O(x₀,y₀),半径Rを求める．(別解：代数的解法)
半径Rは中心座標P_O(x₀,y₀)から各点P_1～3(x_1～3,y_1～3)までの距離だから３平方の定理で求めればよい．

　３点の座標をそれぞれ
　　　　Ｐ₁(x₁,y₁)
　　　　Ｐ₂(x₂,y₂)
　　　　Ｐ₃(x₃,y₃)
とするとき、　　→(３点法試算結果)

垂直２等分線の交点法
垂直２等分線(右図破線)の方程式を求めると

交点Ｐ_ｍ1(ｘ_ｍ1,ｙ_ｍ1)＝Ｐ_ｍ1｛ (ｘ₁＋ｘ₂)／２，(ｙ₁＋ｙ₂)／２｝　……(1)
直交勾配は、勾配の逆数の逆符号だから

　勾配α₁＝－(ｘ₂－ｘ₁)／(ｙ₂－ｙ₁) 　………………………………………　(2)
同様に
交点Ｐ_ｍ2(ｘ_ｍ2,ｙ_ｍ2)＝Ｐ_ｍ2｛ (ｘ₂＋ｘ₃)／２，(ｙ₂＋ｙ₃)／２｝　……(3)
直交勾配は、
　勾配α₂＝－(ｘ₃－ｘ₂)／(ｙ₃－ｙ₂) 　………………………………………　(4)
従って垂直２等分線の方程式はそれぞれ
ｙ－ｙ_ｍ1＝α₁(ｘ－ｘ_ｍ1)　………(5)
ｙ－ｙ_ｍ2＝α₂(ｘ－ｘ_ｍ2)　………(6)
上記２方程式の交点(＝円の中心＝連立方程式の解を求める)を求めると、下式－上式

（α₂－α₁)ｘ	＝＋α₂･ｘ_ｍ2 －α₁･ｘ_ｍ1－ｙ_ｍ2＋ｙ_ｍ1
∴　ｘ₀	＝｛＋α₂･ｘ_ｍ2 －α₁･ｘ_ｍ1－ｙ_ｍ2＋ｙ_ｍ1｝／（α₂－α₁) …(7)
y₀	＝ α₁(ｘ₀－ｘ_ｍ1)＋ｙ_ｍ1 　　……………………………………(8)
∴　Ｒ	＝ sqrt｛(ｘ₁－ｘ₀)² ＋(ｙ₁－y₀)²｝　　 …………………(9)
or　　Ｒ	＝ sqrt｛(ｘ₂－ｘ₀)² ＋(ｙ₂－y₀)²｝　　CHK-1
or　　Ｒ	＝ sqrt｛(ｘ₃－ｘ₀)² ＋(ｙ₃－y₀)²｝　　CHK-2　３値同値でok!

新京成電鉄津田沼－
新津田沼間曲線標識
総武線鉄橋手前Ｓカーブ
津田沼－新津田沼－前原間は144Rだらけ。津田沼、R右２直角、R左直角、総武交差、R左直角、新津田沼、R右直角………という感じ！転向角が大きいためか計測精度も良い．

　実算出法は、表計算ソフトに布数し(→Excel算出ソフトDL)て中間計算値を順次算出して最終数値を得ると簡単。Ｒを３種類の方法で算出しているのは３値一致でのエラーチェックである。自力解析の場合はこうした冗長チェックが必須となる。３種の値が違えば、誤差なのかミスなのかの点検が必要になる。
　分母がゼロになる：ｘ₁＝ｘ₂、or　ｘ₂＝ｘ₃となる特異点では、唯一違う値を含む組をｘ₂と見なして布数する。３値が同値は直線であり半径Ｒは算出できない。(07/07/22追記)

３元２次連立方程式法（別解）
円の方程式：(x-x₀)²＋(y-y₀)²＝R² 　………(未知数：x₀, y₀，R) より
(x₁-x₀)²＋(y₁-y₀)²＝R²　………(1)
(x₂-x₀)²＋(y₂-y₀)²＝R²　………(2)
(x₃-x₀)²＋(y₃-y₀)²＝R²　………(3)
が成立する。これを(3)－(2)、及び(2)－(1)とすると、未知数の２次項が総て消去されて未知数x₀,y₀の２元１次連立方程式となる。すなわち
(3)－(2)：　x₃²－x₂²＋y₃²－y₂² －２（x₃－x₂）x₀－２（y₃－y₂）y₀＝0
　　　　　　２（x₃－x₂）x₀＋２（y₃－y₂）y₀＝ x₃²－x₂²＋y₃²－y₂²　………(4)
(2)－(1)：　x₂²－x₁²＋y₂²－y₁² －２（x₂－x₁）x₀－２（y₂－y₁）y₀＝0
　　　　　　２（x₂－x₁）x₀＋２（y₂－y₁）y₀＝ x₂²－x₁²＋y₂²－y₁²　………(5)
(4),(5)の２元１次連立方程式を解けば円の中心座標O（x₀, y₀）が求められる。
すなわち、行列式を用いたクロネッカーのΔで機械的に求められる．
上記(4),(5)式を行列で表記すると

２（x₃－x₂）, 　２（y₃－y₂） * x₀ ＝ x₃²－x₂²＋y₃²－y₂²
２（x₂－x₁）, 　２（y₂－y₁） y₀ x₂²－x₁²＋y₂²－y₁² 　……(4),(5)

クロネッカーのΔによる一次方程式の解

1-1, 　1-2 ≡(1-1)×(2-2)－(2-1)×(1-2)　　　………(行列式の定義)
2-1, 　2-2

(4),(5)式の行列より　　　　　　　　　　　　
Δ＝ 2(x₃－x₂), 　2(y₃－y₂)
2(x₂－x₁), 　2(y₂－y₁) 　　　……………………(6)

Δx₀＝ x₃²－x₂²＋y₃²－y₂², 　2(y₃－y₂)
x₂²－x₁²＋y₂²－y₁², 　2(y₂－y₁) 　　　………(7)

Δy₀＝ 2(x₃－x₂), 　x₃²－x₂²＋y₃²－y₂²
2(x₂－x₁), 　x₂²－x₁²＋y₂²－y₁² 　　　………(8)

x₀＝Δx₀／Δ　 ………………………(9)
y₀＝Δy₀／Δ　………………………(10)
以下半径Ｒは　Ｉ項(9)の通り

		２（x₃－x₂）,	２（y₃－y₂）		*		x₀		＝		x₃²－x₂²＋y₃²－y₂²
２（x₂－x₁）,	２（y₂－y₁）	y₀	x₂²－x₁²＋y₂²－y₁²	……(4),(5)

	1-1,	1-2		≡(1-1)×(2-2)－(2-1)×(1-2)　　　………(行列式の定義)
2-1,	2-2

(4),(5)式の行列より
Δ＝	2(x₃－x₂),	2(y₃－y₂)
2(x₂－x₁),	2(y₂－y₁)	……………………(6)

Δx₀＝	x₃²－x₂²＋y₃²－y₂²,	2(y₃－y₂)
x₂²－x₁²＋y₂²－y₁²,	2(y₂－y₁)	………(7)

Δy₀＝	2(x₃－x₂),	x₃²－x₂²＋y₃²－y₂²
2(x₂－x₁),	x₂²－x₁²＋y₂²－y₁²	………(8)

上記解法II項(4)、(5)式を直線の方程式の標準形に変形すると、以下の通りで、
　　　y₀－（y₃＋y₂）／２＝－｛（x₃－x₂）／（y₃－y₂）｝*｛x₀－（x₃＋x₂）／２｝ 　………(4')
　　　y₀－（y₂＋y₁）／２＝－｛（x₂－x₁）／（y₂－y₁）｝*｛x₀－（x₂＋x₁）／２｝ 　………(5')
これは解法 I で求めた(5)式(6)式と一致するから、代数的別解の実質も先の幾何的解と同じく２点を結ぶ線分の垂直２等分線同士の交点を求める計算をしていることになる．
(07/09/09追補。このページが学生さんから「数学」として参照されていることが分かり、解法II、IIIを補足。鉄ヲタ仕様なら解法 I のみで十分とは思うが、数学解法上の参考としては内容が不足するため補足。きちんと学びたい方はここの様な鉄ヲタ系お遊びサイトに留まらず、数学系のサイトを参照されたい。）

[緯度、経度からの座標換算]　　　 <Earth>

　着目地点を緯度分傾いたX-Y平面と考えて仮原点(0,0)を定め、緯線方向の経度差に緯度の余弦を乗じて簡易算出できる。Google EarthなどWeb地図が緯度・経度絶対座標を表示しており、これを採ると計算しやすい。球面誤差が現れる長距離には適用できない。　地球半径Ｒ_eは、１周が40,001.[km]を２πで割った値として式で定義すると楽に扱える。（以下 Δは差の意）
　　Ｒ_e＝40,001km／２π＝＋40,001,000/2/pi()［ｍ］　……… EXCEL
　　Ｒ_e＝40,001km／２π＝＋40,001,000/2/@pi［ｍ］　 ……… 123
　南北方向の距離　X＝Ｒ_e･Δθ　　　　　　(緯度差Δθ、角度単位はradian)
　東西方向の距離　Y＝Ｒ_e･Δφ･cosθ　　　(経度差Δφ、緯度θ)
　対角方向の距離　L＝Ｒ_esqrt｛Δθ²＋(Δφ･cosθ)²｝
以上の算出で相対座標を求めて前出3-Point法で曲線半径Ｒと中心座標を求めることができる。(07/07/23追記)

**300R標識**
：総武線両国駅上り出発信号付近

［３点円半径の試算］　　　　　　<Calc>

　Google Earth により航空写真を得て、着目点にカーソルを置いてその緯度・経度表示を読み取る。（他の地図ソフトも可）
　経緯表示の表示単位は1/100秒(約0.3ｍ×0.25ｍ)だが、写真画像の分解能が２ｍ～0.2ｍ程度だから、写真によっては線路中心が判然とせず、両脇の側線や切り通し、建築物に影響されて読み取り誤差を生じて、下記の通り最大±５％程度の誤差となっているが、正矢による半径推定より４倍ほどは正確。簡易法としては当面適切な方法である。国鉄JRでの幹線山間部や東京山手線内の標準的曲線半径が300Rであったことが良く分かる。両国はかっては総武鉄道の起点で以東の千葉までは800Rが多く、船橋手前のＳカーブ500Rなどが例外である。

地球半径 [m]＝40,001,000 ／２pi()＝6,366,356.88 [ｍ]（下記算出基準）
　　　緯度１秒＝30.864969 [ｍ]　　経度１秒＝25.069415 [ｍ] (N35.766172度)

		緯度X				経度Y				垂直２等分線			半径Ｒ	公称Ｒ	誤差％
		度	分	秒	度Deg.	度	分	秒	度Deg.	勾配α	( Xm，Ym ）		半径Ｒ	公称Ｒ	誤差％

新京成津田沼	Ｐ1	35	41	3.66	35.684350	140	1	24.66	140.023517	基準点	0	0	142.936	144	-0.7
	Ｐ2	35	41	8.66	35.685739	140	1	20.81	140.022447	5.919084	77.162	-13.036	142.936	144	-0.7
	Ｐ3	35	41	11.30	35.686472	140	1	21.85	140.023517	-0.844239	195.067	22.186	142.936	97.088	104.904
※京成津田沼出発直後、切り通しの単線右カーブ144Rで約180゜曲がる部分。

京王調布相模原線	Ｐ1	35	39	6.55	35.651819	139	32	26.85	139.540792	基準点	0	0	159.457	173	-7.8
	Ｐ2	35	39	8.00	35.652222	139	32	28.88	139.541356	5-0.879043	22.377	25.456	159.457	173	-7.8
	Ｐ3	35	39	8.61	35.652392	139	32	31.18	139.541994	-0.326395	54.168	79.754	159.457	-94.649	128.327
※京王相模原線調布出発後左へ90゜曲がる173R部分の引き込み線含む３線部。

代々木南東	Ｐ1	35	40	53.11	35.681419	139	42	19.47	139.705408	基準点	0	0	297.405	300	-0.9
	Ｐ2	35	40	54.48	35.681800	139	42	14.15	139.703931	0.317036	21.143	-66.688	297.405	300	-0.9
	Ｐ3	35	40	56.22	35.682283	139	42	11.54	139.703206	0.820758	69.138	-166.093	297.405	296.686	20.669
※中央線千駄ヶ谷－代々木間の盛り土複々線右カーブ

飯田橋	Ｐ1	35	42	4.91	35.701364	139	44	40.86	139.744683	基準点	0	0	326.026	300	8.7
	Ｐ2	35	42	7.36	35.702044	139	44	44.5	139.745694	-0.828845	37.810	45.617	326.026	300	8.7
	Ｐ3	35	42	08.60	35.702389	139	44	49.05	139.746958	-0.335602	94.755	148.255	326.026	-209.024	250.204
※中央線飯田橋駅の盛り土複々線＋引き込み線跡＋島式ホーム左カーブ

神田－万世橋間	Ｐ1	35	41	47.97	35.696658	139	46	14.89	139.770803	基準点	0	0	294.787	300	-1.7
	Ｐ2	35	41	44.74	35.695761	139	46	17.29	139.771469	1.657181	-49.847	30.079	294.787	300	-1.7
	Ｐ3	35	41	42.30	35.695083	139	46	17.94	139.771650	4.622054	-137.349	68.306	294.787	-199.150	-217.344
※中央線神田－旧万世橋駅間の左カーブ

瀬野－八本松1	Ｐ1	34	26	2.67	34.434075	132	38	54.71	132.648531	基準点	0	0	308.885	300	3.0
	Ｐ2	34	26	6.50	34.435139	132	39	2.33	132.650647	-0.609410	59.106	96.990	308.885	300	3.0
	Ｐ3	34	26	12.35	34.436764	132	39	4.78	132.651328	-2.895240	208.493	225.161	308.885	304.392	-52.490
※山陽線瀬野－八本松駅間の急勾配カーブ

瀬野－八本松2	Ｐ1	34	26	43.33	34.445369	132	39	35.66	132.659906	基準点	0	0	298.155	300	-0.6
	Ｐ2	34	26	39.76	34.444378	132	39	31.58	132.658772	-1.061029	-55.094	-51.925	298.155	300	-0.6
	Ｐ3	34	26	38.41	34.444003	132	39	27.19	132.657553	-0.372891	-131.022	-159.721	298.155	142.699	-261.789
※山陽線瀬野－八本松駅間の急勾配カーブ

姫川－駒ヶ岳	Ｐ1	42	4	39.92	42.077756	140	36	25.54	140.607094	基準点	0	0	300.472	300	0.2
	Ｐ2	42	4	40.92	42.078033	140	36	39.65	140.611014	-0.095484	15.432	161.623	300.472	300	0.2
	Ｐ3	42	4	25.86	42.073850	140	36	43.52	140.612089	5.242167	-201.548	367.582	300.472	-236.253	185.655
※函館本線姫川－駒ヶ岳間180度カーブ（付近で３回の過速度転覆事故）

尼崎事故	Ｐ1	34	44	31.89	34.742192	135	25	35.82	135.426617	基準点	0	0	284.547	302	-5.8
	Ｐ2	34	44	28.35	34.741208	135	25	35.01	135.426392	-5.318502	-54.631	-10.272	284.547	302	-5.8
	Ｐ3	34	44	26.56	34.740711	135	25	33.84	135.426067	-1.861794	-136.886	-35.381	284.547	-3.064	-284.530
※塚口－尼崎間上り右302R第一カーブ。建物の影の影響

横田基地北西	Ｐ1	35	45	52.80	35.764667	139	20	28.41	139.341225	基準点	0	0	408.849	400	2.2
	Ｐ2	35	45	58.22	35.766172	139	20	30.45	139.341792	-3.274351	83.644	25.545	408.849	400	2.2
	Ｐ3	35	46	03.41	35.767614	139	20	36.98	139.343606	-0.979537	247.383	132.858	408.849	-33.011	407.514

横田基地北西再計算	Ｐ1	35	45	52.91	35.764697	139	20	28.37	139.341214	基準点	0	0	391.569	400	-2.1
	Ｐ2	35	45	58.35	35.766208	139	20	30.35	139.341764	-3.386023	83.953	24.794	391.569	400	-2.1
	Ｐ3	35	46	01.91	35.767197	139	20	34.02	139.342783	-1.195503	222.845	95.543	391.569	-24.147	390.823
※八高線牛浜－箱根ヶ崎間横田基地延長部回避右400Rカーブ（点検再計算）

宗像事故海老津－教育大前	Ｐ1	33	49	2.05	33.817236	130	36	17.14	130.604761	基準点	0	0	501.318	500	0.3
	Ｐ2	33	48	57.94	33.816094	130	36	17.42	130.604839	17.667515	-63.428	3.590	501.318	500	0.3
	Ｐ3	33	48	54.27	33.815075	130	35	16.59	130.60460	-5.322014	-183.492	-3.462	501.318	-91.529	-492.892
※鹿児島線宗像事故手前500R右カーブ

東船橋津田沼	Ｐ1	35	41	58.16	35.699489	140	0	29.69	140.008247	基準点	0	0	823.268	800	2.9
	Ｐ2	35	41	57.18	35.699217	140	0	34.33	140.009536	0.260078	-15.124	58.151	823.268	800	2.9
	Ｐ3	35	41	53.90	35.698306	140	0	42.38	140.011772	0.501728	-80.866	217.191	823.268	-809.761	-148.517

東船橋津田沼再計算	Ｐ1	35	41	58.17	35.699492	140	0	29.76	140.008267	基準点	0	0	809.703	800	1.2
	Ｐ2	35	41	56.71	35.699086	140	0	35.92	140.009978	0.291855	-22.531	77.201	809.703	800	1.2
	Ｐ3	35	41	53.03	35.698064	140	0	43.76	140.012156	0.577990	-101.854	252.658	809.703	-795.963	-148.529
※総武線東船橋－津田沼間の垂直壁切り通し複々線右カーブ

新検見川－稲毛	Ｐ1	35	39	3.49	35.650969	140	04	47.53	140.079869	基準点	0	0	818.028	800	2.3
	Ｐ2	35	38	58.42	35.649561	140	04	59.55	140.083208	0.51907	-78.243	150.734	818.028	800	2.3
	Ｐ3	35	38	52.41	35.647892	140	05	6.17	140.085047	1.117176	-249.235	384.489	818.028	-788.466	-217.927

※総武線新検見川－稲毛間の盛り土＆切り通し複々線右カーブ

弦と正矢から半径を求む　　　　<Seishi>

　Ｒ（Ｌ,ｄ）＝｛（Ｌ/２）²＋ｄ²｝／２ｄ＝（L²／8d）＋（d/2）
　ｄ（Ｒ,Ｌ）＝Ｒ－sqrt{Ｒ²－(Ｌ/２)²}
　但し、Ｒ：半径、Ｌ：弦、ｄ：正矢

　　（系）見通し計算　　　<V>　　('10/08/17補足)

地球半径Ｒ＝40001/2π [km]、
対象点高さｈ₁、
観測点高さｈ₂、
観測点－水平線距離Ｌ₂、
水平線－対象点距離Ｌ₁、
対象距離Ｌ＝Ｌ₁＋Ｌ₂、とするとき

　　（系１）見通し距離　　　<Dst>

$見通し距離計算$ 前節①式より：　２Ｒ sin(α/2)＝AD ＝sqrt(L²＋ｈ²)
sin(α/2)＝ｈ／sqrt(L²＋ｈ²)、を上式に代入
L²＋ｈ²＝２R h
L＝sqrt(２R h－ｈ²)　　………………………⑥
　水平線の両側の距離L₁、L₂を加算したものがLだから⑥式より、
L＝L₁＋L₂ ＝sqrt(２R h₁－ｈ₁²) ＋sqrt(２R h₂－ｈ₂²) 　　……………⑦

［計算例１］　東京タワー送信点標高 ｈ₁＝330m、受信点標高 ｈ₂＝43m（＝35m＋8m）、とするとき、見通し距離は
Ｌ＝sqrt(２･40001/２π･0.330－0.33²) ＋sqrt(２･40001/２π･0.043－0.043²)
　 ＝64.82km＋23.4km＝88.2km
（但し、旧千葉市街の場合、現実には伝播途中がビル街で特に高層団地街の浦安市が拡がっていて海面伝播より減衰は大きい。また伊豆大島はギリギリ範囲としても八丈島(≒300km)はかなり苦しい。See→日記#236#1）

　　（系２）見通し高さ　　　<Hi>

　対象点の水平線標高ｈ₁を求める。観測側の水平線距離 L₂は⑥式で求められ、対象側の距離 L₁は残りの＝L－L₂だから、⑤式により、
ｈ₁＝Ｒ－sqrt(Ｒ²－Ｌ₁²) 　　………………………⑧
として算出される。

［計算例２］　千葉海浜病院傍護岸（標高ｈ₂＝5m）からＬ＝25km先の東京湾横断道路橋梁（最高地点ｈ₁＝40.8m）を見たとき、橋梁での水平線高度ｈ₁を求む
L₂＝sqrt(２R h₂－ｈ₂²)
　＝sqrt(２･40001/２π･0.005－0.005²)＝7.98km
∴L₁＝25.0km－7.98km＝17.02km、
ｈ₁＝40001/2π－sqrt{(40001/2π)²－17.02²} ＝22.8m
［計算例２’確認］　上記で０m高から橋梁部を観測した場合は、L₂＝０だから、
　ｈ₁＝40001/2π－sqrt{(40001/2π)²－25²} ＝49.09m

弦と半径から弧長と回転角を求む　　　<Ko>

●弦Ｌと半径Ｒにより弧長ｓと回転角θを求める方法は

Ｌ／２＝Ｒ・sin(θ/２)
sin²α＋cos²α＝１
tanα＝sinα／cosα であるから
tan(θ/２)＝sin(θ/２)／cos(θ/２)
　　　　　＝sin(θ/２)／sqrt{１－sin²(θ/２)}
　　　　　＝１／sqrt{１／sin²(θ/２)－１}
　　　　　＝１／sqrt{(２Ｒ/Ｌ)²－１｝
∴ θ＝２tan^-1［１／sqrt{(２Ｒ/Ｌ)²－１｝］
　　　　ｓ＝Ｒθ…………………（実θ＜πの場合）、
または　ｓ＝Ｒ（２π－θ）……（実θ＞πの場合）
但し、θ：弧・弦を中心から見込む角、Ｒ：曲率半径、L：弦、ｓ：弦長
180度未満の角度のみ算出。（＝「補角＋180度」は自動算出できないので分割など工夫が必要）

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Last update: 2007/09/09 　　　　　改7/22　(07/07/22作成)

		２（x₃－x₂）,	２（y₃－y₂）		*		x₀		＝		x₃²－x₂²＋y₃²－y₂²
		２（x₂－x₁）,	２（y₂－y₁）		*		y₀		＝		x₂²－x₁²＋y₂²－y₁²		……(4),(5)

Δ＝	2(x₃－x₂),	2(y₃－y₂)
Δ＝	2(x₂－x₁),	2(y₂－y₁)	……………………(6)

Δy₀＝	2(x₃－x₂),	x₃²－x₂²＋y₃²－y₂²
Δy₀＝	2(x₂－x₁),	x₂²－x₁²＋y₂²－y₁²	………(8)

【「考え方」であり、「公式」ではありません】

クロネッカーのΔによる一次方程式の解

【「考え方」であり、
「公式」ではありません】