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ダイヤモンド富士撮影点@全方向

　太陽が富士山の山頂に掛かる「ダイヤモンド富士」現象が、日没時は東側の関東南部、日の出時は西側で見られて「ダイヤモンド富士」と呼ばれていますが、各地の出現日程をどう推定したものでしょうか？
　ハッキリしているのは、春分点・秋分点で富士山頂の真東と真西に出現で、夏至と冬至付近で、最も南側方向地点と最も北側方向地点になるわけですが、果たして何キロｍ先まで富士山として見えるのか？
　そして、単純に地軸の傾斜角ﾟを加算・減算すれば足りるのかどうか、途中の経時推移は、春分点基準で sinθ で考えて良いのか？地球の軌道が真円ではなく、楕円である補正はどうするのか、など、天文計算は全くシロートの身に余る課題がドサッと降り掛かる訳です。


富士山−地球−太陽関係数値　<TBL>

  • 1).太陽の視半径16'01.18"＝0.266994444、視直径a＝0.5339888ﾟあり、
    		• 暦1p1
  • 2).太陽の視直径bが約15'59.64"×2＝0.533133ﾟあり、
    		• 天2p78表2
  • 3).太陽視直径c＝1,392,000 km/1.49597871×10^8 km×180/π ＝0.5331341ﾟ
    		• 3)−4).●
  • 4).太陽直径＝696,000×2 km＝1,392,000 km、
    		• ※
  • 5).地球軌道半径：１天文単位＝1.49597871×10^8 km
    		• ※暦1p1、
    　　　　　　　　　　　　　　　　1.5×10^8 km ※天46p122
  • 6).光速 3×108m/s、 2.997 924 58×108m/s
    		• 天1p77、
  • 7).太陽−地球光到達時間 499.005s秒＝(1.49597871×10^8 km／2.997 924 58×108m/s)

  • 8).地球の極周長 40,001 km、赤道周長40,074.2 km：360度、
  • 9).地球直径＝40,001km／π＝12,732.71km、6378×2＝12,756km
    		• ※
  • 10).地軸傾度＝23ﾟ26'12.1"＝23.4366944"
    		• 暦1〜12月p4〜26
  • 11).太陽直径/地球直径＝109.325倍、

  • 12).富士山山頂Ｆ経緯（35.360839ﾟN， 138.727506ﾟE，3,776.25 H）
    		• ････Google Earth
  • 13).富士山山頂火口の直径が約1km前後、

  • 14).時期：
    　　春分　0.0000日2013/03/20 20:01JST＝11:01GMT〜365.25日2014/03/21、
    　　夏至 91.3125日2013/06/21 14:03JST＝05:03GMT、2014年6月21日10:51GMT＝19:51JST
    　　秋分182.6250日2013/09/23 05:44JST＝ 9/22 20:44GMT、
    　　冬至273.9375日2013/12/22 02:11JST＝12/21 17:11GMT、
    　翌春分365.2500日2014/03/21 01:57JST＝ 3/20 16:57GMT
    近日点黄経：102.979ﾟ：日数換算：104.480日→遠日点：282.979ﾟ日数換算287.106日

  • 15).座標定義
    　　ｙ−ｙ0＝α（ｘ−ｘ0）,
    　　E-W方向をｘ、N-S方向をｙとすると、微少角範囲での角度−距離変換：
    　　　　ｙ＝Δθy／360ﾟ×40001km、
    　　　　ｘ＝Δθx／360ﾟ×40074km×cosθn････θは緯度｡

    • See→ダイヤモンド富士撮影点@千葉 ：日記#0346

    　推算するには、単純化モデルを想定して概算、実際と合うかどうかを検証しては、他のモデルと比較したり、副次的な修正項を導入して誤差項を次々と埋めて現象の記述式を確定させて行くことになります。実測データと良く合うのが優れた実験式で、それを説明する理屈を組み立てたものがまずは仮説、追試が広く行われて正確な予測が出来ることで正しさが知られると理論として定着するものです。

    　任意の地表点から見た太陽の動きを近似的に表すには、太陽直径と地球直径が約109倍違い、太陽の視直径が0.533133゜に対して、太陽位置から見た地球の視直径は1/109の0.004876588°になるはず。
    　この地球の大きさは太陽との関係では、中心も地表も概ね１点と見なせるから、中心点で見掛けの方向角で計算して出た結果を地表に投影する方式で近似計算出来るはず。
    　任意の地点の日の出・落陽方向は、東西線に対して地軸傾斜角の対太陽方向成分が加算されて、その基点が春分点で、閏年を含む１年周期（＝365日1/4日）の正弦波振動となると考えてみます。
    　さらに緯度θによる平面傾斜分に投影される換算係数が１／cosθになるはず。

    日の入り（西方）

    日の出（東方）

    出入り（立体図）

    　この頁でそれが現実と合うかどうか、試算してみましょう。 取り敢えずは、下記サイト「富士山の見える県一覧」を参照↓。

    富士山の見える県一覧
    http://yamao.la.coocan.jp/mieruken.htm

    微妙に違う基本数値＠理科年表

    　具体的試算のため諸定数を調べますと、どうも一義的とは限らず、理科年表の中にも微妙に違う数値が書き込まれていて、一応、選択しなければなりません。（精度で考えればどちらでも大差ないのですが、選択に根拠がないのは困ります）。右表のように、太陽の視半径と、１天文単位に２数値。天文単位は省略概数値と推定でき1.49597871×108 kmを選択できますが、視直径の２重定義はどこから来るのでしょうか？
    　この選択判断は、太陽半径ｒと地球軌道半径Ｒから地球から見た太陽の視半径ψを算出して、これに近い方を選択することにします。
    　　ψ＝ｒ／Ｒ＝696,000.／1.49597871×108×180/pai＝0.2665670゜
    　　　　　→視直径＝0.533134ﾟ≒0.533133ﾟ･･･天文2p78表2の値を採用、
    　　　　　･･････暦部p1の数値0.5339888ﾟを却下
    　他の諸定数は右枠の通りに採用。

    うるう年設定規則
    ※
    　地球の自転周期と公転周期が全くリンクていないので、不規則な「うるう年」の配慮が必要ですが、４年周期〜100年間近似で当面の実用上は問題なく使えるはず。

    　うるう年は、西暦年号が4の倍数の年をうるう年として2月29日を加えるが、例外として100の倍数では平年扱い、しかし400の倍数では例外の例外としてうるう年とする、 と、調整を図っています。

    　近年では直近の閏年が2012年、100の倍数である2000年は400の倍数でもあるので、例外の例外規定により閏年となります。

    　この規則から考えれば、１年近似ではその年の春分点が基準で365.25日/年、4年近似ではうるう年の2012/02/21が基準で1461日/4年、100年＆400年近似では2000年が基準で36524日/100年＆146097日/400年周期でクリアされます。
    　（2012年が基準で1,461日/4年＝365.25日/年、
    　　 2000年が基準で36,524日/100年＝365.24日/年
    　　 146,097日/400年＝365.2425日/年）

    　以上のうるう年規則は表計算ソフトの日数計算部に組み込まれているハズなので、１年間の日数周期に反映させれば、基準点を2012/年の春分に採って100年、2000/年の春分で400年は問題なく計算できるはずです。

    【アークサインは多価函数】　 <ASIN>

    　ARC SIN函数は、周期函数SINの逆函数なので、原函数の周期毎の繰り返しに加えて、１周期中に２個所の同値が有ることと、実用上の問題としては、１周期を±180ﾟ(±π [rad])で表す、数学慣行表記にするか、0〜360ﾟ(2π [rad])の羅針盤航海、測量方式の方位角表記にするかで、表記上は３種の解になります。

    　また、角度計算の単位は、電卓なら自由に設定できますが、表計算ソフトでは総てラジアン：[rad]なので、受け渡しで変換、逆変換が必要になります。Excelでのアークサインは、
    　　θ＝ASIN(X)････････････X値域±1→θ値域±π/2
    　　or　pi()−ASIN(X)････････→θ値域+π/2〜+3/2*π
    　の２本の式で、値域 −π/2〜＋3/2*πの範囲(−90ﾟ〜＋270ﾟ)で表すことが出来ます。
    　これは、0ﾟ〜360ﾟの方位角とも±180ﾟの数学慣用角とも違うので、用途に合わせてどちらかに値域変換することになります。

    ［値域変換］
    　周期函数なので −π/2＝＋3/2･π だから、上側の式で X＜0 の場合に＋2π を加算すると、２つの式で値域0〜2πとなり
    　逆に下側の式で X＜0 の場合に −2π を加算すると、２つの式で値域±πをカバーする。
    　システムの値が、「X＜0」が真TRUEの場合に「＋1」であるとき、（注：「−1」のシステムが多いので注意）

    ［±π表示］
    　　θ＝ASIN(X)････････････X値域±1→θ値域±π/2
    　　or　pi()−ASIN(X)−2*pi()*(X<0)････
    　　　　　　････････　→θ値域＋π/2〜π & −π〜−π/2
    ［方位角表示：0〜2･π］
    　　θ＝ASIN(X)＋2*pi()*(X<0)･･･
    　　　　　　･････　X値域±1→θ値域±π/2
    　　or　pi()−ASIN(X)
    　　　　　　･･････････　　or ＋π/2〜＋3/2*π

    ［±180ﾟ表示］
    　　θ＝(ASIN(X))*180/pi()･･･････ X値域±1→θ値域±90ﾟ
    　　 or　(pi()−ASIN(X)−2*pi()*(X<0))*180/pi()･･･
    　　　　　･･･････→θ値域 −180ﾟ〜−90ﾟ、＋90ﾟ〜180ﾟ
    ［方位角表示：0ﾟ〜360ﾟ］
    　　θ＝(ASIN(X)＋2*pi()*(X<0))*180/pi()･･･
    　　　　　････････X値域±1→θ値域0ﾟ〜90ﾟ& 270ﾟ〜360゜
    　　or　(pi()−ASIN(X))*180/pi()････････ or 90ﾟ〜270ﾟ


    先ず、春分点からDay日経過後の日没時の公転角は、
    　　　 (Day−(20:01−18:00)/24)/365.2425×360ﾟ＝(Day−0.084)×0.985626ﾟ
    従って、公転位置Dayによる落陽方向は西方：方向角270ﾟに対する増減角として、
    　　α＝23.4366944ﾟsin((Day−0.084)/365.25×360ﾟ)／cos(35.360839ﾟ)
    　　α＝28.7382195ﾟsin((Day−0.084)×0.985626ﾟ)･････(西：方位角270ﾟに対する増減角)
    ［Dayの逆算］：
    　　α＝arc_tan［(ρ−ρ0)/((ψ−ψ0)×cosθ)］ [ﾟ]･･･
    　　　　･････θ基準点緯度、ρ緯度、ψ経度、添数「0」：基準点、(無添数は任意点)
    　　α/28.7382195ﾟ＝sin((Day−0.084)×0.985626ﾟ)
    　　Day＝arc_sin(α/28.7382195ﾟ)/0.985626ﾟ＋0.084
    　　　 ＝1.0145836×arc_sin(α/28.7382195ﾟ)＋0.084 [日]････
    　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　･････(春分点起点日数、2価函数)
    　　実日付＝春分の日＋Day ･････(表計算Excel等の日付表示演算に拠る）
    　　　　　･･････緯度の傾き分の投影長、春分点でDay＝0ﾟ、
    　　　　　　　　　秋分点ではDay/365.25×360ﾟ＝180ﾟ
    　　　　　　　　→Day(秋分点)＝182.625日、Day(冬至)＝273.9375日 となります。

    ［試算１(千葉ポートタワー)］：P(35.598893N, 140.099071E)、富士F(35.360839N, 138.727506E )
    　　α＝arc_tan［(ρ−ρ0)/{(ψ−ψ0)×cosθ}］ [ﾟ]
    　　　＝arc_tan［(35.598893−35.360839)/{(140.099071−138.727506)×cos(35.360839)}]
    　　　＝arc_tan［0.238054/{1.371565×0.8155235}]＝12.0147ﾟ＜28.7382195ﾟ∴観測範囲内→ ポートタワー側から見ると逆に−12.01247ﾟ

    　　｛一致日換算｝
    　−12.0147/28.7382195<0 だから軌道上を180ﾟ以上360ﾟ未満回転。
    　　軌道回転角＝180−arc_sin(−12.0147ﾟ/28.7382195ﾟ) or 360＋arc_sin(−12.0147ﾟ/28.7382195ﾟ)
    　　Day＝1.0145836×(204.7130ﾟ or 335.2870ﾟ)＋0.084 [日]････
    　　　　　　･････(春分点起点日数、2価函数)
    　　　 ＝207.8日　or　340.3日　･････(春分点起点日数、2価函数)
    　　　 ≒208日　or　340日、13/10/15(実際は10/16) or 14/02/24

    ［試算１b.(一般解)］： P(ρ0N, ψ0E)、対象物F(ρ1N, ψ1E)
    　　α＝ATAN2［Δρ,(Δψ×cosθ)］ [ﾟ]〜範囲(東西方位角±地軸傾斜角／cos緯度)
    　　　＝ATAN2［(ρ1−ρ0),{(ψ1−ψ0)×cosθ}］ ＋180ﾟ×((ψ1−ψ0)<0) [ﾟ]････(＋は正論理。負論理では−とする。)
    　　　但し、(ψ1−ψ0)<0　は東側から夕日を観測、>0 は西側から朝日を観測。

    　　先出［千葉ポートタワー・富士山］で試算すると、
    　　α＝ATAN2［(35.360839−35.598893),{(138.727506−140.099071)×cos(35.360839)}]
    　　　＝ATAN2［−0.238054,−1.371565×0.8155235]＋360ﾟ＝257.9853ﾟ＝270−12.0147ﾟ、 　|−12.0147ﾟ|＜|28.7382195ﾟ| ∴観測範囲内。
    　　　　　　（表計算ソフトでの角度はrad:ラジアン、値域が±π:(±180ﾟ)なので、
    　　　　　　　度°表示には×180／pi()、度°代入には×pi()／180を乗じる換算が必要。
    　　　　　　　さらに、ｙ<０の場合、方位角換算に＋2π：+360ﾟを加算することに注意）

    　｛一致日換算｝
    　−12.0147/28.7382195<0 だから先の計算と同値。
    　　Day＝207.8日　or　340.3日≒208日　or　340日
    　すなわち、任意の場所Ｐ(緯度,経度)でのダイヤモンド富士の見える方向と時期は、［試算１b.(一般解)］に示す方法で、算出できることになる。

    ［試算１c.(三重県津市志登茂川河口)］：P(34.734678ﾟN, 136.528907ﾟE)津市志登茂川右岸河口
    　　α＝ATAN2［(35.360839−34.734678),{(138.727506−136.528907)×cos(35.360839)}]
    　　　＝ATAN2［ 0.626161, 2.198599×0.8155235]ﾟ＝70.749596ﾟ＝90−19.25040ﾟ、 　|−19.25040ﾟ|＜|28.7382195ﾟ| ∴富士山頂が見えれば観測範囲内。
    　　｛一致日換算｝
    　　Day＝1.0145836×arc_sin(α/28.7382195ﾟ)＋0.084 [日]　･････(春分点起点日数、2価函数)
    　−19.25040/28.7382195<0 だから軌道上を180ﾟ以上360ﾟ未満回転。
    　　軌道回転角＝180−arc_sin(−19.25040ﾟ/28.7382195ﾟ) or 360＋arc_sin(−19.25040ﾟ/28.7382195ﾟ)
    　　Day＝1.0145836×(222.055767ﾟ or 317.944233ﾟ)＋0.084 [日]　･････(春分点起点日数、2価函数)
    　　　 ＝225.4日　or　322.7日　･････(春分点起点日数、2価函数)
    　　　 ≒225日　or　322日、　13/11/01 or 14/02/06 のハズ。当たってるでしょうか？

    ［試算１d.(海ほたる展望台)］：P( 35.465508ﾟN, 139.875017ﾟE)東京湾横断道海上P.A.
    　　α＝ATAN2［(35.360839−35.465508),{(138.727506−139.875017)×cos(35.360839)}]
    　　　＝ATAN2［ -0.104669, -1.147511×0.8155235]ﾟ＝263.6ﾟ＝270−6.4ﾟ、 　|−6.381843ﾟ|＜|28.7382195ﾟ| ∴観測範囲内。

    　　｛一致日換算｝
    　　Day＝1.0145836×arc_sin(α/28.7382195ﾟ)＋0.084 [日]　･････(春分点起点日数、2価函数)
    　−6.381843/28.7382195<0 だから軌道上を180ﾟ以上360ﾟ未満回転。
    　　軌道回転角＝180ﾟ−arc_sin(−0.22206815)ﾟ or 360ﾟ＋arc_sin(−0.22206815)ﾟ
    　　Day＝1.0145836×(192.8305346ﾟ or 347.169465ﾟ)＋0.084 [日]　･････(春分点起点日数、2価函数)
    　　　 ＝195.7日　or　352.3日　･････(春分点起点日数、2価函数)
    　　　 ≒196日　or　352日、　13/10/02 or 14/03/08 のハズ？当たるも八卦、当たらぬも(w

    　［試算２．富士山見通し距離］
    　見える範囲は富士山頂から海面で概ね200kmまでの模様だが、地球の球面沿いだから観測点の標高によって伸びる。 See→見通し距離の算出
    　富士山の形が判別できる高さを仮に1000mとすると、見通し点高度＝3776m−1000m＝2776m高、観測地標高を2000m高とし、地球の赤道周＝40074kmとするとき、
    　　 L＝L1＋L2
    　　　＝sqrt(２R･h1−ｈ12) ＋sqrt(２R･h2−ｈ22)
    　　　＝sqrt(40074/π*2.771−2.7712) ＋sqrt(40074/π*2−22)
    　　　＝347.7km　の距離までは、見える可能性を排除できない。
    　現実には水蒸気や空気の散乱もありほとんど見えない。富士山から120km余の千葉海岸でさえ10月では月に一〜二度見えるかどうかだった。

    　一方、千葉市海岸で見える時期として市観光課が公表したのは10/16ポートタワー〜10/21美浜大橋で、春分点からの日数は、秋が210日〜217日、その冬至を隔てた翌春の予想が335日〜341日(右表下段& 日記#346)の日程の見込み。

    　両方を右表右欄で対比させますと、春分に近い来春側は良く一致しますが、秋側は誤差が2日分ほど有って大きめで、地球軌道が真円ではなく楕円軌道であるための誤差と思われます。真円軌道近似では誤差が±1日余、千葉市からは、おおよそ太陽直径1個分の算出誤差となります。

    ［試算３．１(冬至)］：夕日北限線(＝夏至朝日南限線)
    　　α＝arc_tan［(ρ−ρ0)/((ψ−ψ0)×cosθ)］ [ﾟ]＝28.7382195ﾟ
    　　(ρ−ρ0)/(ψ−ψ0)＝tan(28.7382195ﾟ）×cosθ
    　　ρ＝tan(28.7382195ﾟ）×cos(35.360839Nﾟ)×(ψ−ψ0)＋ρ0
    　　　　　　＝0.4471934×(ψ−138.727506Eﾟ)＋35.360839Nﾟ
    　　ρ＝＋0.4471934×(ψ−138.727506Eﾟ)＋35.360839Nﾟ
    　　ψ＝＋138.727506Eﾟ＋(ρ−35.360839Nﾟ)／0.4471934
    ［試算３．２(夏至)］：夕日南限線(＝冬至朝日北限線)
    　　ρ＝−0.4471934×(ψ−138.727506Eﾟ)＋35.360839Nﾟ
    　　ψ＝＋138.727506Eﾟ−(ρ−35.360839Nﾟ)／0.4471934

    　　ATAN(α(214))−ATAN(α(213))＝−0.426ﾟ/日 ･･････10月
    　　(ATAN(α(337))−ATAN(α(339)))／2＝0.441ﾟ/日････ 2月
    　この算出精度では、残念ながら、直接の日時推定は出来ませんが、春分点と10月中旬頃は一致しますので、概ねの時期は推定できるでしょう。秋分点は−1.87ﾟ≒4日分も違います。

    　個々の地点毎に演算するのは手間が大変なので、下記表計算ソフトに演算式を仕込んで、観測点の緯度・経度を布数すると、まずは富士山の見える方向と距離を計算し、ダイヤモンド富士が見られる方向と判定できれば、その見える時期を概算する様に設定します。


    つつじヶ丘駅西ガード付近：11/12 & 1/25予定
    　246.8ﾟ　83.154km　35.656568Nﾟ，139.572394Eﾟ
    （京王線車窓から撮影 2012/12/05 10:29）
    多摩川住宅ト〜ホ号棟５階〜：11/09 & 1/29予定
    　247.9ﾟ　81.425km　日没の富士 2013/09/16
    　表に空行があるのは、必要データの入力が無ければ空白を表示する条件式を仕込んでいるためで、経度を入力すると距離と方向とダイヤモンド富士の範囲内外・朝夕方向判断を算出、さらに範囲内の場合に地球の公転位置2ヵ所を算出し、実日付に換算して表示する処理を各行に仕込んでいます。すなわち、演算式項には
    　　　＝if(必須データ項="","",演算式)　　　又は、
    　　　＝if(判定項,演算式,"") ･････ （if文の条件項は「判定項=TRUE」の動作）
    　　として、待機時は空白："" で、必要データを入力して空欄では無くなるとか、範囲内判定されると、演算・表示しています。
    　演算のための基本データも演算で参照するために、表内に記述してあり、右下表の通りです。（これは記事冒頭の定数一覧表を表計算ソフトに布数したもの）。この計算表なら、「地名、緯度、経度」を入力すれば、直ちに結論が表示されます。最大で3日ばかりの誤差は、太陽視直径2個分ほどの誤差になります。
    　（11/08鎌ヶ谷市役所屋上は誤差０：東京新聞11/09社会面コラム、このときマリンスタジアムでは雲で全く見えず、市観光協会チラシのの10/16ポートタワー〜10/21美浜大橋〜習志野茜浜10/23は総て雲に阻まれて確認できず）

    　ダイヤモンド富士の推定は春秋に多くなる以上のオフセットを前提に、富士山山頂を通る直線上にある日常的に富士山の見える地点として推定できます。
    ダイヤモンド富士は、富士山頂を見込む方位角が
    　　夏至の夕方　：298.7ﾟ＝270＋28.7ﾟ　････神奈川･房総方面〜
    　　冬至の夕方　：241.3ﾟ＝270−28.7ﾟ　････東京･千葉・茨城方面
    　　春分・秋分夕：270.0ﾟ　････神奈川･千葉木更津方面
    　　夏至の明け方： 61.3ﾟ＝ 90−28.7ﾟ　･･････三重県伊勢湾岸津市では見えぬか？〜
    　　冬至の明け方：118.7ﾟ＝ 90＋28.7ﾟ　･･･････南アルプス方面
    　　春分・秋分朝： 90.0ﾟ　････南アルプス方面
    で、山からは一定の距離があり、山頂の見える場所で観測できるはず。

    　しかしながら、富士山の西側は山がちで、確実に見えるのは高山の山頂、山嶺が主でしょう。高山山頂の日の出ですから移動が難しく、場所が正確に分かっていませんとダイヤモンド富士は撮影できません。
    　富士はやはり東側のもののようです。特に海岸線上を早春2月と秋10月にそれぞれ10日間前後にわたって観測可能点が移動していく千葉市や袖ヶ浦の市原市が水平線上のダイヤモンド富士で他を圧倒でしょう。特に千葉市は北西側海岸線約8kmのほとんど全部を一般開放していますので、工場で入れない市原や川鉄(JFE千葉：蘇我付近)とは違い、誰でも見に行けます。
    　試算に拠れば、三重県津市の伊勢湾護岸:志登茂川河口あたりからも見えそうなものですが、５月２日と８月７日前後の早朝5:03頃からの現象では、朝寝坊の現代人に拡がるにはかなり無理な日程かも知れません。

    2013/10/29　22:30
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