分岐番数と曲率半径、制限速度　Upd＝2002/01/05

●See→分岐曲率半径
●See→分岐制限速度
●See→支障限界計算

			軌間＝1,067[mm]								軌間＝1,435[mm]
分岐 番数	交差角 [度ﾟ]		↓半径ｍ	分岐制限速度					備考		↓半径ｍ	分岐制限速度						備考
			＼横G→	.03	.04	.05	.06	.07	片開		＼横G→	.03	.04	.05	.06	.07	.08	片開
4	14.250		34.1	11	13	15	16	17			45.9	13	15	17	19	20	22
5	11.421		53.4	14	16	18	20	22			71.7	17	19	21	23	25	27
6	9.527		76.8	17	20	22	24	26			103.3	20	23	26	28	30	32
7	8.171		104.6	20	23	26	28	30			140.6	23	27	30	33	35	38
8	7.153		136.6	23	26	29	32	35	25		183.7	26	31	34	37	40	43
9	6.360		172.9	26	30	33	36	39			232.5	30	34	38	42	45	49
10	5.725		213.4	29	33	37	40	44	35		287.0	33	38	43	47	51	54
11	5.205		258.2	31	36	40	44	48			347.3	36	42	47	51	56	59
12	4.772		307.3	34	40	44	48	52	45		413.3	40	46	51	56	61	65
13	4.405		360.6	37	43	48	52	57			485.0	43	50	55	61	66	70
14	4.091		418.3	40	46	52	56	61	50		562.5	46	53	60	65	71	76
15	3.818		480.1	43	49	55	60	65			645.7	50	57	64	70	76	81
16	3.580		546.3	46	53	59	65	70	60		734.7	53	61	68	75	81	86
17	3.369		616.7	48	56	63	69	74			829.4	56	65	73	80	86	92
18	3.182		691.4	51	59	66	73	78			929.9	60	69	77	84	91	97	80
19	3.015		770.4	54	63	70	77	83			1036.1	63	73	81	89	96	103
20	2.864		853.6	57	66	74	81	87	70		1148.0	66	76	85	94	101	108
22	2.604		1032.9	63	72	81	89	96			1389.1	73	84	94	103	111	119
24	2.387		1229.2	68	79	88	97	105			1653.1	79	92	102	112	121	130
26	2.203		1442.6	74	86	96	105	113			1940.1	86	99	111	122	131	140
28	2.046		1673.1	80	92	103	113	122			2250.1	93	107	120	131	141	151
30	1.910		1920.6	86	99	110	121	131			2583.0	99	115	128	140	152	162
34	1.685		2466.9	97	112	125	137	148			3317.7	112	130	145	159	172	184
38	1.508		3081.5	108	125	140	153	166			4144.3	126	145	162	178	192	205	160
42	1.364		3764.4	120	138	155	169	183			5062.7	139	160	179	196	212	227
46	1.246		4515.5	131	151	169	185	200			6072.9	152	176	196	215	232	248
50	1.146		5335.0	143	165	184	202	218			7175.0	165	191	213	234	253	270
54	1.061		6222.7	154	178	199	218	235			8368.9	179	206	231	253	273	292
58	0.988		7178.8	165	191	214	234	253			9654.7	192	221	248	271	293	313
62	0.924		8203.1	177	204	228	250	270			11032.3	205	237	265	290	313	335
66	0.868		9295.7	188	217	243	266	287			12501.7	218	252	282	309	333	356
70	0.818		10456.6	200	230	258	282	305			14063.0	231	267	299	327	354	378
74	0.774		11685.8	211	244	272	298	322			15716.1	245	283	316	346	374	400
78	0.735		12983.3	222	257	287	315	340			17461.1	258	298	333	365	394	421
82	0.699		14349.0	234	270	302	331	357			19297.9	271	313	350	383	414	443
86	0.666		15783.1	245	283	317	347	375			21226.5	284	328	367	402	434	464
90	0.637		17285.4	257	296	331	363	392			23247.0	298	344	384	421	455	486
94	0.610		18856.0	268	309	346	379	409			25359.3	311	359	401	440	475	508
102	0.562		22202.1	291	336	375	411	444			29859.5	337	389	435	477	515	551
110	0.521		25821.4	314	362	405	444	479			34727.0	364	420	470	514	556	594

分岐器の分岐側速度制限基準は安全率5.5と規定している：(04/07/31追記)　　　<cal>
出所：電気鉄道概論改訂増補版p89　(3).分岐付帯曲線の制限速度
　　　安全率 a＝5.5　　→　　速度Ｖ≦2.75√Ｒ
　　　重心高Ｈ＝1,650ｍｍ/1,700、　軌間Ｇ＝1,067mm/1,435
　　　安藤信三著kk成山堂書店2003/12/08刊(昭和鉄道高校教諭・東京交通短大講師)

<BUNKI>

【 分岐＃番数−最大半径−最大速度の計算 】

　上図フログ角とポイント番数の定義と(1)(2)(5)式を眺めていて、分岐最大半径とその制限速度は第２余弦定理と三平方の定理を使って計算すれば逆三角関数を使わずに算出でき、簡単な式で表現できることに気付いた。
　どうも､関数電卓を使った力尽くの計算に慣れすぎていた様である。逆函数がATAN()しかない表計算ソフトやBASICでの演算を楽にするにはよく吟味された解析が必要だ。自家用には正しければ良いというのも一つの見識だが、予期せぬエラー抑制のためにも新規作成にはスマートな式を採りたい。

(05/08/21追記)

　すなわち、２等辺三角形の高さ：Ｈ、底辺幅：Ｂとするとき、
ポイント番数＃Ｎ＝高さ／底辺＝Ｈ／Ｂ が定義だから、
底辺Ｂ＝２単位長とすると、高さＨ＝２＃Ｎ になる。
この２等辺三角形は頂角θの２等分線で直角三角形２個に分けられ､
その斜辺である２辺の長さは、三平方の定理より、 １²＋(２×＃Ｎ)²＝斜辺²。
　この２等辺三角形に第２余弦定理：ａ²＋ｂ²−２ａｂcosＣ＝ｃ²：を適用すると
　２{１²＋(２＃Ｎ)²}−２{１²＋(２＃Ｎ)²}cosθ＝２²
　(１−cosθ)＝２／{１＋４＃Ｎ²} 　 …………………………………………………………(6)
これを(3)(4)式に代入して
　Ｒ＝Ｗ{(１＋４＃Ｎ²)／２−１／２}＝２Ｗ＃Ｎ² 　……………………………………(3)’

分岐制限速度　　　<MAX>

　制限速度の算出は、安全比率ａ＝5.5 から算出するものと、軌間に依らず最大内接円半径での乗り心地限界として約0.05Ｇで規定されるもの(5)がある。
　後者は(6)式を(5)式に代入すれば
　Ｖ≦sqrt[127ＷＧ{(１＋４＃Ｎ²)/２−１/２}]＝sqrt(254ＷＧ＃Ｎ²)
　　＝15.94＃Ｎ・sqrt(ＷＧ)　……………………………………………………………… (5)’
一方、横Ｇを安全比率ａから定義しなおすと、転倒限界が(Ｗ／２)／Ｈ・ｇ＝Ｗ／２Ｈ・ｇなので
速度限界の安全横ＧはＷ／２Ｈａ・ｇとなるから(4)式は
　横Ｇ≦Ｖ²／Ｒ＝Ｗ／２Ｈａ・ｇ
　Ｖ²≦Ｗ／２Ｈａ・ｇＲ＝Ｗ²・＃Ｎ²・ｇ／Ｈａ
　　Ｖ≦Ｗ＃Ｎ√(Ｗｇ／Ｈａ)[m/s]＝3.6・Ｗ＃Ｎ√(ｇ／Ｈａ)[km/h]
　　Ｈ＝1,700mm、ｇ＝9.8m/s²、ａ＝5.5、Ｗ＝1.067ｍ／1.435ｍ であるとき、
　　　　Ｖ≦3.6×1.067×＃Ｎ√{9.8／1.7／5.5}＝3.933＃Ｎ　(在来線) 　……………(5)'
　　　　Ｖ≦3.6×1.435×＃Ｎ√{9.8／1.7／5.5}＝5.289＃Ｎ　(新幹線) 　……………(5)''

　即ち､分岐番号＃Ｎだけで､逆三角函数を使わずに分岐最大半径と速度を算出できる。
　　　Ｒ＝２Ｗ＃Ｎ²　……………………………………(3)’
　　(実際のＲはポイント部を真円にできないなどの問題で若干小さくなるが、これより緩い曲線は使えないので論理的な基準になる目安数値∴「最大」半径。
　前出のＶ＝2.75√Ｒで算出した値は比率で70％〜87％余にばらつき、分岐実半径決定法の詳細は不明：要調査。但し分岐角までしか向きが変わらない＝渡り線の前提ならその誤差の影響は減殺される)
　まとめると
　　　Ｖ≦3.6・Ｗ＃Ｎ・sqrt(ｇ／Ｈａ)[km/h]　………(ａ＝5.5)…(5)’
　　　　Ｖ≦15.94＃Ｎ・sqrt(ＷＧ)　……………………(0.05Ｇ) …(5)’
　　　Ｈ＝1.7ｍ、ｇ＝9.8ｍ／ｓ²、Ｗ＝1,067mm／1,435mm、ａ＝5.5 または0.05Ｇとするとき、
　　　　　Ｖ≦3.933＃Ｎ　(在来線ａ＝5.5)　……………(5)''
　　　　　　Ｖ≦3.682＃Ｎ　(在来線0.05Ｇ)　………… (5)'
　　　　　Ｖ≦5.289＃Ｎ　(新幹線ａ＝5.5)　……………(5)''
　　　　　　Ｖ≦4.270＃Ｎ　(新幹線0.05Ｇ)　………… (5)'

05/08/21

分岐器の支障限界計算　　　<shishou>

　クロッシング部(フログ部)が直線の場合、支障限界の相対位置を算出する（変数名踏襲）。
支障限界点Ｑ−分岐尖端Ａ間距離を　Ｌ₁、　その直線近似を　Ｌ₁'
支障限界点Ｑ−分岐中心点Ｂ間距離をＬ₂、　その直線近似を　Ｌ₂'
支障限界点Ｑ−フログ尖端Ｃ間距離をＬ₃
　トングレールの先端角度γ、→曲線トング−直線トング差長＝Ｒγ／２
車体幅（含む余裕）Ｄ
軌間Ｗ　　とするとき、
L₂'tan(θ/2)＝Ｄ／２→L₂'＝Ｄ／２tan(θ/2)＝Ｄ＃Ｎ……(直線近似)(7)-2a式
L₃tan(θ/2)＝(Ｄ−Ｗ)／２→L₃＝(Ｄ−Ｗ)＃Ｎ ………………………… (7)-1式
L₁＝Ｒθ＋L₃＝２Ｗ＃Ｎ²θ＋(Ｄ−Ｗ)＃Ｎ
　＝４Ｗ＃Ｎ²･tan⁻¹{１／２＃Ｎ}＋(Ｄ−Ｗ)＃Ｎ …… (中心線距離)(7)-2b式
∵θ＝２･tan⁻¹{１／２＃Ｎ} …………………… (2)
　Ｒ＝２Ｗ＃Ｎ² …………………………………… (3)'
L₁'＝L₂＋(L₂−L₃)−Ｒγ／２
　＝２Ｄ＃Ｎ−(Ｄ−Ｇ)＃Ｎ−Ｒγ／２
　＝(Ｄ＋Ｇ)＃Ｎ−Ｇ γ＃Ｎ² ………………………………………………(7)-3式
(支障限界計算は、中心線距離演算と直線近似の誤差は0.1%未満、30mm程度のため、単純な直線近似演算を採用しているのではないか？）

[軌間1435mm、＃８番分岐、車体幅３ｍでの試算]

ここで軌間＝1435mm、車体幅３ｍ、分岐番数＃Ｎ＝８、γ＝０ として支障限界距離を算出すると、(注：→西鉄津福駅下り出発合流想定。変数名相違注意→！
　　 ：Ｗ→Ｇ、Ｄ→Ｗ、Ｌ₁→Ｄ、Ｌ₂→Ｌ₁、Ｌ₃は同一)
L₃ ＝(Ｄ−Ｇ)＃Ｎ＝(3.0−1.435)*８＝12.52m 　………(フログ尖端−)
L₁'＝(Ｄ＋Ｇ)＃Ｎ＝(3.0＋1.435)*８＝35.48m 　………(トングレール尖端−直線近似)
L₁ ＝４Ｗ＃Ｎ²･tan⁻¹{１／２＃Ｎ}＋L₃
　　＝22.930＋12.520＝35.450m　　……………………… (中心円周）
従って、直線近似誤差d＝L₁'−L₁＝35.480m−35450m＝＋30mm ： ＋30/35,450＝＋0.085%誤差

09/03/09

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Last update: 09/03/09 　　　　　05/08/21Ｒ式整理 04/01/15表整理 (02/01/05作成)